IL RE

VITO

KURT 

    GODEL  

SERRAO G.A.

MOLE'

clicca quì per chattare Le chiese di Polia Polia tra storia e leggenda . Polia nuova. Figure illustri di Polia e del circondario immagini di Polia Laudato ingentia rura , colito parva . Cantami o Diva del pelide Achille l'ira funesta....Le voci  di Polia  nel mondo Per non dimenticare usanze e tradizioni religiose e non La lingua e la sua origine novità a Polia ...  Piatti tipici di Polia e della Calabria e mail, comunicazioni , indirizzi utili
novità a Polia ...

SITO SU VIRGILIO

GRATIS SMS
SSITO SU YAHOO
SITO SU LYCOS.IT

 

 

 

 

 

                          RIFLESSIONI SUL TEOREMA DI INCOMPLETEZZA DI KURT GODEL ( BOZZA)

 

 

Racconta , un noto matematico italiano , di aver chiesto , nel corso di una intervista all’allora Presidente del Consiglio 

Giulio Andreotti , cosa ne pensasse del Teorema di Incompletezza   di Kurt Godel . Il Presidente , perplesso , disse qualcosa , manifestando la sua scarsa propensione verso tematiche di questo tipo  . E , tuttavia , dalla risposta che diede , il Senatore , dimostrò di aver  intuito in fretta ,  l’interpretazione , almeno quella volgare ,  che tutt’oggi molti danno di questo teorema . Certo ,  Il solo fatto che  un teorema potesse essere oggetto di amabile colloquio fra un cattedratico ed un Presidente  guida di un Paese , in un certo senso , conferisce l’idea di quanto questo teorema abbia potuto influenzare il pensiero matematico e filosofico del XX secolo . Poche volte , forse , sarà  successo  che un teorema invadesse  tanto ,  ambiti così diversi della cultura ; così oggi se da un lato troviamo citato  Godel  in campi che spaziano dalla  politica alla religione, dall’ ermeneutica alla filosofia , alla filosofia della mente e all’ intelligenza artificiale da un altro lato  nei suoi lavori alcuni  eminenti pensatori  da  J.R.Lucas a Regis Debray a Gianni Vattimo ,  da Wittngestein a Roger Penrose   hanno cercato , a volte , conforto alle proprie teorie a volte motivi di vivace dialettica .

Ora , per meglio inquadrare , il pensiero di Godel è utile fare un breve passo indietro .

Verso la fine dell’ Ottocento inizia fra i matematici una profonda  riflessione sull’ intero impianto logico che regge alcune branche della Matematica ; inizia la cosiddetta “ crisi dei fondamenti” della Matematica . L’algebra ,  dopo Cartesio ,  aveva assunto una sua strutturazione ben definita , e proprio in quegli anni , Weierstrass aveva dato all’analisi la sistemazione  che oggi conosciamo . Il dibattito, si sposta e coinvolge i numeri e con essi l’Aritmetica : alcuni concetti sui numeri  – numeri razionali , numeri irrazionali , numeri trascendenti  -  sfuggono o non appaiono ben definiti . E’ allora che si pensa di dare all’Aritmetica un impianto assiomatico inattaccabile . E da dove prendere spunto se non ritornando indietro nei secoli ; ritornando ad Euclide : il suo impianto assiomatico costituito dai cinque postulati ha retto l’urto di ogni onda distruttiva ; è rimasto e rimane inattaccabile nei secoli ( solo sul V° postulato è in corso un dibattito )  . A partire dai  5  postulati  di  Euclide , nei secoli si è potuto  pervenire tramite dimostrazioni logico – deduttive  a dare una giustificazione razionale a tutto l’ impianto della geometria . Ovvero tutti  i teoremi ,  nelle loro dimostrazioni ,  sono sempre  riconducibili ai 5 assiomi di partenza .

Così, si vuole dare all’aritmetica un impianto assiomatico simile a quello che Euclide diede alla Geometria ;  come in Geometria , così per l’Aritmetica , da  alcuni postulati iniziali ,  si intende  costruire un impianto logico , assiomatico inattaccabile  in grado di dimostrare tutto . A questa opera si dedicarono , fra gli altri -  il tedesco Dedekind e il matematico italiano Peano .

Nella sua opera “ Arithmetices Principia ova Metodo Exposita “ Peano formula i seguenti 5 postulati :  

·                                        Zero è un numero naturale .

·                                        Il successore di un numero naturale è un numero naturale .

·                                        Zero non è il successore di alcun numero .

·                                        Se due numeri hanno lo stesso successore , allora sono lo stesso numero .

·                                        Ogni proprietà di cui gode lo zero e tale che , se ne gode un numero , ne gode il suo successore , è una proprietà di tutti i numeri naturali .  

Peano , riprendendo alcuni spunti di riflessione di Leibniz che intendeva proporre per la filosofia un linguaggio di tipo matematico  , avverte la necessità di dare una formalizzazione rigorosa all’Aritmetica  , e per questo introduce una simbologia che , in parte , è ancora  adottata dalla comunità scientifica   ( $ ,", Î, È….) ,

Ma  i Postulati  di Peano  costituiscono solo  l’ incipit , perché nella sua assiomatizzazione dell’ aritmetica  - dopo di lui si chiamerà anche PA – non specificò i principi logico – deduttivi  da adoperarsi nelle dimostrazioni che seguono i postulati iniziali .Il linguaggio stesso , risente ancora della tradizione . E tuttavia il solco ormai appare tracciato .

A riprendere , anzi andare oltre il tentativo di Peano ci pensa L’inglese Bertrand .Russel (e il tedesco Glottob Frege ) - Il suo pensiero è quello di inserire il concetto di numero e la relativa teoria  in un sistema ancora più vasto ed organico . Proprio in quegli anni Glottob  Frege aveva cominciato a mostrare come gli enunciati dell’aritmetica potessero essere dimostrati utilizzando precise regole logiche , formulate in modo del tutto esplicito .Le sequenze dimostrative dell’aritmetica , da un lato , dovevano essere tradotte in un linguaggio simbolico artificiale  e dall’altro dovevano essere rigorosamente esplicitate le regole logiche mediante le quali avvengono le dimostrazioni . Quello che Frege cercava era la creazione di un sistema formale , assiomatico ; la sua ambizione era di fondare l’aritmetica sulla logica .

Essi pensavano che “ le nozioni ritenute primitive dell’aritmetica ( zero , numero e successore ) , e i principi fondamentali di questa come quelli individuati da Peano , potevano essere in realtà definibili e dimostrabili attraverso concetti e principi ancora più fondamentali , e di natura puramente logica . In particolare andavano ricondotti alla nascente teoria di Cantor sugli insiemi .

Peano considerava il numero una nozione intuitiva e primitiva ;

Nel progetto di Russell e Frege – detto “ logicista “ - il concetto di numero è ricondotto a qualcosa di ancora più fondamentale,  più primitivo ; e cosa c è di più primitivo del concetto di insieme ? ( un insieme è una collezione di oggetti o per dirla con le parole di Cantor “  ogni riunione in un tutto , M , di oggetti ( chiamati  m )” ; precisamente i numeri sono definiti in termini di insiemi e di proprietà di insiemi e di relazioni fra insiemi . I numeri , quindi ,  intesi come proprietà di insiemi e le proprietà sono riconducibili ad insiemi ovvero ad insiemi di insiemi di insiemi . Per meglio capire è necessario rifarsi a due principi fondamentali della teoria degli insiemi : Il principio di estensionalità ed il principio di astrazione . Il primo è  esprimibile così :

 

"x(xÎYÛxÎZ) ÞY=Z  

ovvero se per ogni x , x appartiene all’insieme Y e appartiene anche all’insieme Z , i due insiemi Y e Z sono uguali . In altri termini se gli insiemi Y e Z hanno come elementi solo e soltanto gli x , i due insiemi sono uguali . Questo principio ci dice , in sostanza , che l’unica cosa che caratterizza un insieme sono gli elementi che esso contiene .Ne deriva che due insiemi che non contengono alcun elemento sono uguali (insieme vuoto : Æ).

Il secondo principio lo si può esprimere così  

xÎ{y/P(y) P(x)   e quindi  :

$Y/"x( xÎYÛf(x) ) ovvero :  

esiste un insieme Y , tale che x appartiene a Y se e solo se , per ogni x , x soddisfa alla condizione espressa da f(x) , se x quindi ha la  proprietà espressa da f(x) .

In sostanza questo principio cattura l’idea che per una qualsiasi proprietà che lega più elementi possa esistere un insieme corrispondente . Questo secondo principio – per ogni proprietà P esiste un insieme corrispondente ed è l’insieme che lega tutti gli elementi che hanno la proprietà P -  che sembra banale , ovvio,   sarà invece dirompente decretando il “ de profundis “ della nascente teoria .

Tutto, infatti ,  sembrava procedere bene ; la nuova teoria funzionava , si potevano definire i numeri in termini di insiemi , di proprietà di insiemi e di relazioni fra insiemi .L’ intuizione fondamentale era che i numeri fossero proprietà di insiemi e dunque – in virtù del Principio di Astrazione , visto che le proprietà implicano la presenza di un insieme o di insiemi di insiemi . In sostanza un discorso che parla di numeri può essere sempre ricondotto ad un discorso che parla di insiemi .E la nozione di insieme è una nozione ancora più primitiva , più immediata , più intuitiva della nozione di numero . Si parte da qui ;  e dai concetti primitivi dell‘ insiemistica , si crea  con stringenti regole di derivazione logica , un  impianto assiomatico in grado di definire il complesso di problemi ancora irrisolti dell’ aritmetica  .

Questa via , che appariva chiara e lineare riceve però un colpo letale al sorgere di una serie di paradossi . Fu proprio Russell a comunicare a Frege in una lettera del 1902 di aver scoperto buchi e paradossi che inficiavano l’impianto assiomatico che si andava a costruire . Frege , che capì la portata dei rilievi mossi dall’amico , cadde in una profonda depressione ; pensò che 30 anni del suo lavoro andavano  perduti .

Russell notò che ,  considerando due classi  di  insiemi ovvero gli insiemi che  contengono se stessi come elementi e gli insiemi che non contengono se stessi come elementi  emergono , in questa ultima classe , delle antinomie , delle contraddizioni insanabili ; contraddizioni  simili al famoso paradosso sui cretesi che a lungo tolse il sonno a filosofi e matematici dell’antichità . In sostanza  se noi consideriamo un insieme “ R” costituito da tutti gli insiemi che non hanno se stessi come elementi , questo insieme R , ci conduce direttamente ad un paradosso : R appartiene a se stesso ovvero ha sé come elemento di sé , se non appartiene contemporaneamente a se stesso . Infatti R rappresenta l’insieme di tutti gli insiemi X  che non contengono se stessi come elementi , come membri . Ora , applicando il principio di Astrazione , secondo cui ad ogni proprietà corrisponde un insieme che lega gli elementi che hanno questa proprietà , se ne deduce che l’insieme R raccoglie da una parte gli insiemi che non contengono se stessi come elementi , ma d’altra parte ha se stessi come elementi .

 

$R/"x( xÎRÛx Ïx )

 

Esiste un insieme R , a cui ogni elementoxappartiene se e solo se x non appartiene a x .

Questa è “ la contraddizione rilevata da Russell “ . Questa contraddizione emerge dall’applicazione del principio di Astrazione . Altri paradossi Russell fa emergere : famoso è quello del Barbiere : In un paese c è un solo barbiere ;  gli uomini  si radono la barba e si possono dividere in due insiemi

A) quelli che si radono da soli . B) quelli che si radono dal barbiere .

Il barbiere a quale dei due insiemi appartiene ? A o B ?

Altri paradossi   all’orizzonte  compaiono come funghi(  L’insieme Universo e la diagonale di Cantor sulla “ superiorità “ fra infiniti e sull’insieme dei numeri naturali  , Burali –Forti e l’insieme vuoto ecc.. ) e mettono in crisi la pretesa di costruire , per l’Aritmetica , partendo dalla teoria degli insiemi un impianto rigoroso di assiomi sul modello  Euclideo .

Molti di questi paradossi appaiono nuovi nella loro costruzione  ;ma a guardarli da vicino sono antichi , antichi  quanto San Paolo , quasi a ricordarci l’unitarietà nei secoli  del pensiero umano .Ripercorrendo , a ritroso il tempo  è  San Paolo che - lettera a Tito - riporta  il primo paradosso , risalente al filosofo cretese Epimenide :

“ Tutti i cretesi mentono sempre “ ( detto questo da un cretese) .

Il vulnus di questi paradossi , che per molti secoli , ha prodotto tante discussioni fra  filosofi e matematici ,  è stato individuato nella loro autoreferenzialità .Essi si manifestano quando parlano di se stessi , quando soggetto ed oggetto si confondono …i cretesi che parlano dei cretesi …Ecco,  il paradosso di Russell  parla di insiemi che non  contengono se stessi , di insiemi di insiemi di insiemi . In questa inclusione c è proprio un ritorno al passato un attorcigliarsi in sequenze logiche che coinvolgono se stesse e portano a paradossi .

Ad uscire da questo empasse , al secondo congresso internazionale dei Matematici di Parigi nel 1900 ci pensa David Hilbert . Dall’autorità che gli deriva dall’essere considerato il più grande matematico del 900 il grande concittadino di un altro grande del pensiero umano Emanuele Kant , a Parigi fa il punto sullo stato dell’Arte della Matematica . Hilbert detta l’agenda ; forte del suo credo “ in matematica non esistono ignorabimus “ , elenca i ventitrè problemi  ancora irrisolti della matematica ( fra essi il famoso teorema di Fermat , risolto solo una decina di anni fa da Wiles con una dimostrazione di oltre cento pagine ed un lavoro di oltre sette anni ) . Al secondo posto Hilbert pone : “ La coerenza dell’Aritmetica “ .

Hilbert decise di affrontare la crisi “dei fondamenti della matematica “ proponendo un programma chiamato “ formalista “ in grado di andare oltre i paradossi evidenziati nella teoria insiemistica di Frege e di Cantor .Il programma consiste in due fasi . Creare un sistema formale è come creare un sistema assiomatico ; i suoi principi devono essere considerati soltanto in termini di forma prescindendo dal loro significato . L’idea consiste nel separare nettamente la sintassi dalla semantica e nello scartare quest’ultima .Detto altrimenti un sistema assiomatico completamente formalizzato dovrebbe essere un sistema di soli segni . Abbiamo simboli e le formule non sono altro che stringhe di simboli ; e per le operazioni o dimostrazioni si usano regole di inferenza o di trasformazioni formalizzate , standardizzate . Le regole di inferenza sono come istruzioni in un programma e le dimostrazioni sono sequenze finite di formule così pure i teoremi . Alle espressioni, per evitare interpretazioni in libertà ,  si sostituiscono dei simboli ed i legami logici sono legami tramite simboli.

Sentiamo Hilbert “ In questo modo noi otteniamo invece della scienza matematica dotata di contenuto , che viene comunicata attraverso il linguaggio ordinario ( la semantica , il discutere l’interpretare le formule …) un inventario di formule costituite di segni logici che seguono l’una dall’altra secondo regole ben definite ( regole di inferenza ) .Alcune di queste formule corrispondono agli assiomi matematici , e alle inferenze dotate di contenuto corrispondono le regole di base a cui le formule seguono l’una dall’altra ; così , l’inferenza dotata di contenuto è rimpiazzata da manipolazioni di segni secondo regole , e in questo modo si compie la piena transizione da un trattamento intuitivo a uno formale “.  Questa procedura che avviene attraverso la manipolazione di simboli costituisce un sistema assiomatico : eseguire l’operazione    y + 0 = y “ o 2x = 6  da cui x = 6/2 = 3 significa manipolare solo simboli . Costituisce la sintassi del linguaggio . Discutere , interpretare le operazioni di sopra ovvero dire  la 1) è una espressione ….o la 1) è un teorema …significa dare una interpretazione della formula e questo per Hilbert costituisce la metamatematica . La metamatematica è tutto ciò che viene espresso in linguaggio ordinario intorno ad un sistema K ; le affermazioni che vertono sul sistema formale ,  sono affermazioni che vertono sulla sintassi . Ritroviamo , in forme diverse , la distinzione fra sintassi e semantica  la semantica del linguaggio . Hilbert la chiama metamatematica :  le affermazioni espresse in linguaggio ordinario e che vertono sul sistema formale costituiscono la “ metamatematica”.

La metamatematica , anche detta teoria della dimostrazione , si occuperà di dimostrare ciò che è possibile dimostrare e ciò che non è possibile dimostrare ; quindi Hilbert disgiunge nettamente il sistema formale – la sintassi – dalle dimostrazioni su di esso e decide di abbandonare nella costruzione dei sistemi assiomatici concetti indefinibili come infinito o universo ; sono questi secondo Hilbert gli scogli contro cui sono franati i tentativi di assiomatizzare la teoria degli insiemi ; egli affronterà la “ crisi dei fondamenti “ dimostrando metamaticamente la coerenza dellìAritmetica con metodi puramente finitari “

E’ a questo punto che entra in gioco Kurt Godel .

Godel  si imbatte nel secondo dei problemi irrisolti proposti da Hilbert; costruire un modello assiomatico capace di rendere inattaccabile l’ Aritmetica e più in generale la Matematica .

 A soli ventitré anni , proveniente dal Circolo di Vienna ,  il 7 ottobre del 1930 in un convegno tenuto a Koenisberg  - piccola Patria,  mille volte  contesa , di grandi menti  da Hilbert a Kant -. Godel propone la sua prova ; essa è “ il culmine di una delle più incredibili sequenze argomentative  della storia del pensiero umano ” continua

                                                                        

                    Prof.  Bernardino   Pujia  .  Liceo S.  I.  Newton  Roma