Racconta , un noto matematico italiano , di aver chiesto , nel corso di
una intervista all’allora Presidente del Consiglio
Giulio Andreotti ,
cosa ne pensasse del Teorema di Incompletezza
di Kurt Godel . Il Presidente , perplesso , disse qualcosa ,
manifestando la sua scarsa propensione verso tematiche di questo tipo
. E , tuttavia , dalla risposta che diede , il Senatore , dimostrò
di aver intuito in fretta ,
l’interpretazione , almeno quella volgare ,
che tutt’oggi molti danno di questo teorema . Certo ,
Il solo fatto che un
teorema potesse essere oggetto di amabile colloquio fra un cattedratico ed
un Presidente guida di un
Paese , in un certo senso , conferisce l’idea di quanto questo teorema
abbia potuto influenzare il pensiero matematico e filosofico del XX secolo
. Poche volte , forse , sarà successo
che un teorema invadesse
tanto , ambiti così
diversi della cultura ; così oggi se da un lato troviamo citato
Godel in campi che
spaziano dalla politica alla
religione, dall’ ermeneutica alla filosofia , alla filosofia della mente
e all’ intelligenza artificiale da un altro lato
nei suoi lavori alcuni eminenti
pensatori da J.R.Lucas
a Regis Debray a Gianni Vattimo , da
Wittngestein a Roger Penrose hanno
cercato , a volte , conforto alle proprie teorie a volte motivi di vivace
dialettica .
Ora , per meglio inquadrare , il pensiero di Godel è utile fare un
breve passo indietro .
Verso la fine dell’ Ottocento inizia fra i matematici una profonda
riflessione sull’ intero impianto logico che regge alcune branche
della Matematica ; inizia la cosiddetta “ crisi dei fondamenti” della
Matematica . L’algebra , dopo
Cartesio , aveva assunto una
sua strutturazione ben definita , e proprio in quegli anni , Weierstrass
aveva dato all’analisi la sistemazione
che oggi conosciamo . Il dibattito, si sposta e coinvolge i numeri
e con essi l’Aritmetica : alcuni concetti sui numeri –
numeri razionali , numeri irrazionali , numeri trascendenti
- sfuggono o non
appaiono ben definiti . E’ allora che si pensa di dare all’Aritmetica
un impianto assiomatico inattaccabile . E da dove prendere spunto se non
ritornando indietro nei secoli ; ritornando ad Euclide : il suo impianto
assiomatico costituito dai cinque postulati ha retto l’urto di ogni onda
distruttiva ; è rimasto e rimane inattaccabile nei secoli ( solo sul V°
postulato è in corso un dibattito ) .
A partire dai 5
postulati di
Euclide , nei secoli si è potuto
pervenire tramite dimostrazioni logico – deduttive
a dare una giustificazione razionale a tutto l’ impianto della
geometria . Ovvero tutti i
teoremi , nelle loro
dimostrazioni , sono sempre
riconducibili ai 5 assiomi di partenza .
Così, si vuole dare all’aritmetica un impianto assiomatico simile a
quello che Euclide diede alla Geometria ;
come in Geometria , così per l’Aritmetica , da
alcuni postulati iniziali , si
intende costruire un impianto
logico , assiomatico inattaccabile in
grado di dimostrare tutto . A questa opera si dedicarono , fra gli altri -
il tedesco Dedekind e il matematico italiano Peano .
Nella sua opera “ Arithmetices Principia ova Metodo Exposita “ Peano
formula i seguenti 5 postulati :
·
Zero è un numero naturale .
·
Il successore di un numero naturale è un numero naturale .
·
Zero non è il successore di alcun numero .
·
Se due numeri hanno lo stesso successore , allora sono lo
stesso numero .
·
Ogni proprietà di cui gode lo zero e tale che , se ne gode
un numero , ne gode il suo successore , è una proprietà di tutti i
numeri naturali .
Peano , riprendendo alcuni spunti di riflessione di Leibniz che
intendeva proporre per la filosofia un linguaggio di tipo matematico
, avverte la necessità di dare una formalizzazione rigorosa
all’Aritmetica , e per
questo introduce una simbologia che , in parte , è ancora
adottata dalla comunità scientifica
( $ ,", Î, È….) ,
Ma i Postulati
di Peano costituiscono
solo l’ incipit , perché
nella sua assiomatizzazione dell’ aritmetica
- dopo di lui si chiamerà anche PA
– non specificò i principi logico –
deduttivi
da adoperarsi nelle dimostrazioni che
seguono i postulati iniziali .Il linguaggio stesso , risente ancora della
tradizione . E tuttavia il solco ormai appare tracciato .
A riprendere , anzi andare oltre il tentativo di Peano ci pensa
L’inglese Bertrand .Russel (e il tedesco Glottob Frege ) - Il suo
pensiero è quello di inserire il concetto di numero e la relativa teoria
in un sistema ancora più vasto ed organico . Proprio in quegli
anni Glottob Frege aveva
cominciato a mostrare come gli enunciati dell’aritmetica potessero
essere dimostrati utilizzando precise regole logiche , formulate in modo
del tutto esplicito .Le sequenze dimostrative dell’aritmetica , da un
lato , dovevano essere tradotte in un linguaggio simbolico artificiale
e dall’altro dovevano essere rigorosamente esplicitate le regole
logiche mediante le quali avvengono le dimostrazioni . Quello che Frege
cercava era la creazione di un sistema formale , assiomatico ; la sua
ambizione era di fondare l’aritmetica sulla logica .
Essi pensavano che “ le nozioni ritenute primitive dell’aritmetica (
zero , numero e successore ) , e i principi fondamentali di questa come
quelli individuati da Peano , potevano essere in realtà definibili e
dimostrabili attraverso concetti e principi ancora più fondamentali , e
di natura puramente logica . In particolare andavano ricondotti alla
nascente teoria di Cantor sugli insiemi .
Peano considerava il numero una nozione intuitiva e primitiva ;
Nel progetto di Russell e Frege – detto “ logicista “ - il
concetto di numero è ricondotto a qualcosa di ancora più fondamentale, più
primitivo ; e cosa c è di più primitivo del concetto di insieme ? ( un
insieme è una collezione di oggetti o per dirla con le parole di Cantor
“ ogni riunione in un tutto
, M , di oggetti ( chiamati m
)” ; precisamente i numeri sono definiti in termini di insiemi e di
proprietà di insiemi e di relazioni fra insiemi . I numeri , quindi ,
intesi come proprietà di insiemi e le proprietà sono
riconducibili ad insiemi ovvero ad insiemi di insiemi di insiemi . Per
meglio capire è necessario rifarsi a due principi fondamentali della
teoria degli insiemi : Il principio di estensionalità ed il principio di
astrazione . Il primo è esprimibile
così :
"x(xÎYÛxÎZ) ÞY=Z
ovvero se per ogni x , x appartiene all’insieme Y e appartiene anche
all’insieme Z , i due insiemi Y e Z sono uguali . In altri termini se
gli insiemi Y e Z hanno come elementi solo e soltanto gli x , i due
insiemi sono uguali . Questo
principio ci dice , in sostanza , che l’unica cosa che caratterizza un
insieme sono gli elementi che esso contiene .Ne deriva che due insiemi
che non contengono alcun elemento sono uguali (insieme vuoto : Æ).
Il secondo principio lo si può esprimere così
xÎ{y/P(y) }ÛP(x)
e quindi :
$Y/"x(
xÎYÛf(x) ) ovvero :
esiste un insieme Y , tale che x appartiene a Y se e solo se , per ogni
x , x soddisfa alla condizione espressa da f(x) , se x quindi ha la
proprietà espressa da f(x) .
In sostanza questo principio cattura
l’idea che per una qualsiasi proprietà che lega più elementi possa
esistere un insieme corrispondente . Questo
secondo principio – per ogni proprietà P esiste un insieme
corrispondente ed è l’insieme che lega tutti gli elementi che hanno la
proprietà P - che sembra
banale , ovvio, sarà
invece dirompente decretando il “ de profundis “ della nascente teoria
.
Tutto, infatti , sembrava
procedere bene ; la nuova teoria funzionava , si potevano definire i
numeri in termini di insiemi , di proprietà di insiemi e di relazioni fra
insiemi .L’ intuizione fondamentale era che i numeri fossero proprietà
di insiemi e dunque – in virtù del Principio di Astrazione , visto che
le proprietà implicano la presenza di un insieme o di insiemi di insiemi . In sostanza un discorso che parla di numeri può essere sempre
ricondotto ad un discorso che parla di insiemi .E la nozione di insieme è
una nozione ancora più primitiva , più immediata , più intuitiva della
nozione di numero . Si parte da qui ; e
dai concetti primitivi dell‘ insiemistica , si crea
con stringenti regole di derivazione logica , un
impianto assiomatico in grado di definire il complesso di problemi
ancora irrisolti dell’ aritmetica .
Questa via , che appariva chiara e lineare riceve però un colpo letale
al sorgere di una serie di paradossi . Fu proprio Russell a comunicare a
Frege in una lettera del 1902 di aver scoperto buchi e paradossi che
inficiavano l’impianto assiomatico che si andava a costruire . Frege ,
che capì la portata dei rilievi mossi dall’amico , cadde in una
profonda depressione ; pensò che 30 anni del suo lavoro andavano
perduti .
Russell notò che , considerando
due classi di
insiemi ovvero gli insiemi che
contengono se stessi come elementi e gli insiemi che non contengono
se stessi come elementi emergono
, in questa ultima classe , delle antinomie , delle contraddizioni
insanabili ; contraddizioni simili
al famoso paradosso sui cretesi che a lungo tolse il sonno a filosofi e
matematici dell’antichità . In sostanza
se noi consideriamo un insieme “ R” costituito da tutti gli
insiemi che non hanno se stessi come elementi , questo insieme R , ci
conduce direttamente ad un paradosso : R appartiene a se stesso ovvero ha
sé come elemento di sé , se non appartiene contemporaneamente a se
stesso . Infatti R rappresenta l’insieme di tutti gli insiemi X
che non contengono se stessi come elementi , come membri . Ora ,
applicando il principio di Astrazione , secondo cui ad ogni proprietà
corrisponde un insieme che lega gli elementi che hanno questa proprietà ,
se ne deduce che l’insieme R raccoglie da una parte gli insiemi che non
contengono se stessi come elementi , ma d’altra parte ha se stessi come
elementi .
$R/"x(
xÎRÛx Ïx )
Esiste
un insieme R , a cui ogni elementoxappartiene se e solo se x non
appartiene a x .
Questa è “ la contraddizione rilevata da Russell “ . Questa
contraddizione emerge dall’applicazione del principio di Astrazione .
Altri paradossi Russell fa emergere : famoso è quello del Barbiere : In
un paese c è un solo barbiere ; gli
uomini si radono la barba e si
possono dividere in due insiemi
A) quelli che si radono da soli . B) quelli che si radono dal barbiere .
Il barbiere a quale dei due insiemi appartiene ? A o B ?
Altri paradossi all’orizzonte
compaiono come funghi( L’insieme
Universo e la diagonale di Cantor sulla “ superiorità “ fra infiniti
e sull’insieme dei numeri naturali ,
Burali –Forti e l’insieme vuoto ecc.. ) e mettono in crisi la pretesa
di costruire , per l’Aritmetica , partendo dalla teoria degli insiemi un
impianto rigoroso di assiomi sul modello
Euclideo .
Molti di questi paradossi appaiono nuovi nella loro costruzione ;ma
a guardarli da vicino sono antichi , antichi
quanto San Paolo , quasi a ricordarci l’unitarietà nei secoli
del pensiero umano .Ripercorrendo , a ritroso il tempo
è San Paolo che -
lettera a Tito - riporta il
primo paradosso , risalente al filosofo cretese Epimenide :
“ Tutti i cretesi mentono sempre “ ( detto questo da un cretese) .
Il vulnus di questi paradossi , che per molti secoli , ha prodotto tante
discussioni fra filosofi e
matematici , è stato
individuato nella loro autoreferenzialità .Essi si manifestano quando
parlano di se stessi , quando soggetto ed oggetto si confondono …i
cretesi che parlano dei cretesi …Ecco,
il paradosso di Russell parla
di insiemi che non contengono
se stessi , di insiemi di insiemi di insiemi . In questa inclusione c è
proprio un ritorno al passato un attorcigliarsi in sequenze logiche che
coinvolgono se stesse e portano a paradossi .
Ad uscire da questo empasse , al secondo congresso internazionale dei
Matematici di Parigi nel 1900 ci pensa David Hilbert . Dall’autorità
che gli deriva dall’essere considerato il più grande matematico del 900
il grande concittadino di un altro grande del pensiero umano Emanuele Kant
, a Parigi fa il punto sullo stato dell’Arte della Matematica . Hilbert
detta l’agenda ; forte del suo credo “ in matematica non esistono
ignorabimus “ , elenca i ventitrè
problemi ancora
irrisolti della matematica ( fra essi il famoso teorema di Fermat ,
risolto solo una decina di anni fa da Wiles con una dimostrazione di oltre
cento pagine ed un lavoro di oltre sette anni ) . Al secondo posto Hilbert
pone : “ La coerenza
dell’Aritmetica “ .
Hilbert decise di affrontare la crisi “dei fondamenti della matematica
“ proponendo un programma chiamato “ formalista
“ in grado di andare oltre i paradossi evidenziati nella teoria
insiemistica di Frege e di Cantor .Il programma consiste in due fasi .
Creare un sistema formale è come creare un sistema assiomatico ; i suoi
principi devono essere considerati soltanto in termini di forma
prescindendo dal loro significato . L’idea consiste nel separare
nettamente la sintassi dalla semantica e nello scartare quest’ultima
.Detto altrimenti un sistema assiomatico completamente formalizzato
dovrebbe essere un sistema di soli segni . Abbiamo simboli e le formule
non sono altro che stringhe di simboli ; e per le operazioni o
dimostrazioni si usano regole di inferenza o di trasformazioni
formalizzate , standardizzate . Le regole di inferenza sono come
istruzioni in un programma e le dimostrazioni sono sequenze finite di
formule così pure i teoremi . Alle espressioni, per evitare
interpretazioni in libertà , si
sostituiscono dei simboli ed i legami logici sono legami tramite simboli.
Sentiamo Hilbert “ In questo
modo noi otteniamo invece della scienza matematica dotata di contenuto ,
che viene comunicata attraverso il linguaggio ordinario ( la semantica ,
il discutere l’interpretare le formule …) un inventario di formule
costituite di segni logici che seguono l’una dall’altra secondo regole
ben definite ( regole di inferenza ) .Alcune di queste formule
corrispondono agli assiomi matematici , e alle inferenze dotate di
contenuto corrispondono le regole di base a cui le formule seguono l’una
dall’altra ; così , l’inferenza dotata di contenuto è rimpiazzata da
manipolazioni di segni secondo regole , e in questo modo si compie la
piena transizione da un trattamento intuitivo a uno formale “. Questa
procedura che avviene attraverso la manipolazione di simboli costituisce
un sistema assiomatico : eseguire l’operazione
” y + 0 = y “ o 2x
= 6 da cui x = 6/2 = 3
significa manipolare solo simboli . Costituisce la sintassi del linguaggio
. Discutere , interpretare le operazioni di sopra ovvero dire
la 1) è una espressione ….o la 1) è un teorema …significa
dare una interpretazione della formula e questo per Hilbert costituisce la
metamatematica . La metamatematica è tutto ciò che viene espresso in
linguaggio ordinario intorno ad un sistema K ; le affermazioni che vertono
sul sistema formale , sono
affermazioni che vertono sulla sintassi . Ritroviamo , in forme diverse ,
la distinzione fra sintassi e semantica
la semantica del linguaggio . Hilbert la chiama metamatematica : le
affermazioni espresse in linguaggio ordinario e che vertono sul sistema
formale costituiscono la “ metamatematica”.
La metamatematica , anche detta teoria della dimostrazione , si occuperà
di dimostrare ciò che è possibile dimostrare e ciò che non è possibile
dimostrare ; quindi Hilbert disgiunge nettamente il sistema formale – la
sintassi – dalle dimostrazioni su di esso e decide di abbandonare nella
costruzione dei sistemi assiomatici concetti indefinibili come infinito o
universo ; sono questi secondo Hilbert gli scogli contro cui sono franati
i tentativi di assiomatizzare la teoria degli insiemi ; egli affronterà
la “ crisi dei fondamenti “ dimostrando metamaticamente la coerenza
dellìAritmetica con metodi puramente finitari “
E’ a questo punto
che entra in gioco Kurt Godel .
Godel
si imbatte nel secondo dei problemi irrisolti proposti da Hilbert; costruire
un modello assiomatico capace di rendere inattaccabile l’ Aritmetica e
più in generale
la Matematica
.
A
soli ventitré anni , proveniente dal Circolo di Vienna ,
il 7 ottobre del
1930 in
un convegno tenuto a Koenisberg -
piccola Patria, mille volte contesa
, di grandi menti da Hilbert a
Kant -. Godel propone la sua prova ; essa è “ il culmine di una delle
più incredibili sequenze argomentative
della storia del pensiero umano ” continua
Prof.
Bernardino Pujia
. Liceo
S. I.
Newton Roma
