IL RE

VITO

KURT 

    GODEL  

SERRAO G.A.

MOLE'

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Godel giunge ai suoi risultati , nel nostro caso la dimostrazione di 11 teoremi di cui i più importanti sono 2 – facendo ricorso alle funzioni ricorsive  ; noi non seguiremo il suo ragionamento nei suoi aspetti più tecnici  – ci ripromettiamo di farlo –  ma ne proporremo le sue conclusioni  , come lo stesso Godel le ha proposte in vari articoli . Ecco il suo incipit : “ la tendenza della matematica verso un sempre maggior rigore ha portato , come ben noto , alla formalizzazione dei suoi vari settori , così che al loro interno è possibile dimostrare un teorema usando solo poche regole meccaniche .I sistemi formali più ampi elaborati fino a questo momento sono quello dei”Principia Matematica “( PM) ed il sistema di assiomi di Z-F per la teoria degli insiemi ( con i successivi contributi di Von Neuman )

 Questi due sistemi sono talmente generali che tutti i metodi dimostrativi attualmente impiegati in matematica sono stati formalizzati al loro interno ,cioè ridotti a pochi assiomi e alcune regole di inferenza .Si potrebbe quindi supporre che questi assiomi e queste regole siano sufficienti a decidere ogni quesito matematico formalmente esprimibile con essi .Si dimostrerà più avanti che non è così , e che al contrario esistono nei due sistemi citati problemi relativamente semplici riguardanti la teoria dei numeri naturali che non possono essere decisi sulla base degli assiomi .. Questa situazione non dipende in alcun modo dalla natura specifica dei sistemi proposti , ma riguarda una ampia classe di sistemi formali : e fra questi , in particolare , tutti i sistemi che si ottengono dai due indicati aggiungendo un numero finito di assiomi . Una analisi accurata di questa curiosa situazione porta a risultati sorprendenti riguardo alle dimostrazioni di coerenza per i sistemi formali .” Queste  idee che Godel già covava in sé le espresse ….

Godel parte dalla definizione di alcune proprietà che ogni sistema formale deve possedere : coerenza e completezza sintattica e coerenza e completezza semantica .

Un sistema formale “ K” si dice coerente quando , per qualsiasi formula “f “del suo linguaggio L  su cui è impiantato non consente di dimostrare ( come vere ) contemporaneamente” f  “ e “ –f “ ( ovvero f e  la sua negazione  ) . Un sistema è poi sintatticamente completo quando è in grado di dimostrare qualsiasi formula f ( o la sua negazione ) . Un sistema sintatticamente completo quando è in grado di decidersi ( formalmente decidibile ) su tutte le formule del proprio linguaggio : posto di fronte ad una qualsiasi formula “f “ esso sarà in grado o di dimostrare f o di dimostrare la sua negazione . Questa è la completezza sintattica .

Invece , la coerenza semantica si distingue da quella sintattica perché è specificata facendo riferimento alla verità . Di solito la si chiama anche correttezza . In breve , un sistema semanticamente coerente o corretto è un sistema che dimostra solo cose vere . Se f è una formula falsa ,  il sistema K ,  non dimostrerà mai la sua correttezza semantica . Un sistema è semantica completo , poi , quando è in grado di dimostrare – “ decidersi “ – su qualsiasi formula vera . ovvero non succederà mai che una formula corretta non sia dimostrabile in K .

Naturalmente , correttezza e completezza semantica  richiamano l’interpretazione delle formule stesse ; è solo quando una formula è interpretata – ossia quando si assegna un significato ai simboli che la compongono – che ha senso chiedersi se è vera o falsa .Le due relazioni si incrociano , ma fra le due in Godel la completezza e la coerenza semantica prevalgono sulla coerenza e completezza sintattica . Ovvero l’aspetto semantico prevale , è un vincolo più forte , implica l’aspetto sintattico . Il motivo è , in parte , semplice ; la correttezza semantica dimostra solo cose vere e pertanto , se sono vere , saranno di certo sintatticamente corrette . Non è altrettanto vero che un sistema coerente , secondo lo sviluppo sintattico sia , di per sé vero perché potrebbe partire da posizioni iniziali non vere anche se poi si sviluppa secondo procedure logiche corrette . Una persona può dire di aver visto un ladro in azione e poi sviluppare in modo coerente questa sua visione senza che la sua iniziale asserzione sia vera .

Si prenda un sistema formale Kg , un sistema in grado di esprimere , per esempio una certa porzione dell ‘Aritmetica  ed esprimiamo in un linguaggio L un enunciato Gs autoreferenziale del tipo di quello del “ Mentitore “ :

Gs non è dimostrabile nel sistema Kg . Ora Gs dice di sé : “ Io non sono dimostrabile in Kg “ e possiamo chiederci se lo è davvero o meno . Ebbene due sono le cose : o è dimostrabile o non è dimostrabile . Allora analizziamo  entrambe le situazioni .

Supponiamo che Kg sia dimostrabile allora l’enunciato è falso dato che asserisce di non essere dimostrabile e pertanto il sistema formale Kg  è semanticamente incoerente , ovvero scorretto in quanto dimostra  un enunciato  non dimostrabile ( mentre per sua natura dimostra solo cose vere ) .

Se Ks non è , invece , dimostrabile allora asserisce una verità e pertanto è un enunciato vero . Ma se è un enunciato vero e non si riesce a dimostrarlo allora il sistema è semanticamente incompleto in quanto ci sono degli enunciati veri che non riesce a dimostrare . Inoltre se Ks è vero , ovvero non dimostrabile , la sua negazione cioè che è dimostrabile è falsa ci troviamo di fronte ad un sistema che asserisce che Ks è vero e la sua negazione – Ks sarà falsa

Kg1) Sia Kg un sistema formale , assiomatico corretto , in grado di interpretare ed esprimere le proprietà dell ‘Aritmetica ; allora esisterà sempre un  qualche enunciato del sistema Kg “ indecidibile “ ovvero su cui non si può dire né che è vero né che non è vero , su cui non si può decidere .

 

Kg2) Sia Kg un sistema formale, assiomatico  corretto in grado di comprendere e pertanto interpretare l’Aritmetica ; allora esso non è in grado di provare , ovvero dimostrare la propria coerenza . Conclusioni ...  continua  

 

GODEL ED IL MONDO DOPO DI LUI .