GODEL ED IL MONDO DOPO
DI LUI ( BOZZA)
Quando Il giovane ,
proveniente da Praga , di appena 23 anni, al convegno di Koenisberg del 7
ottobre 1930 , prese la
parola nessuno si aspettava di sentire novità interessanti . Erano fra
l’altro presenti eminenti matematici e logici da
Rudolf Carnap a
Weismann del Circolo di
Vienna a Von Neumann seguace di Hilbert e a tanti altri . Il discorso di
Godel apparve “ strano “ ed al contempo “ innovativo “ ; ma la
giovane età , il suo carattere chiuso , un certo ermetismo nelle sue
determinazioni non
portarono a capire bene la
portata delle sue conclusioni . Solo Von Neumann prese il ragazzo sotto
braccio e gli chiese cosa volesse dire e dove volesse arrivare con quegli
enunciati ( il primo teorema di Incompletezza )
. Ma non passò molto che la “ bomba “ Godel scoppiò con tutto il
fragore del caso . Il suo discorso e le conclusioni dei suoi teoremi
ebbero influssi che varcarono i confini della sola Aritmetica .
Scienziati , filosofi
, politici cercarono di trovare nelle parole e nei teoremi di Godel
giustificazioni alle più improbabili teorie
. Cosa sarà mai la verità se persino i matematici riconoscono
l’incompletezza dei loro
sistemi assiomatici ? Cosa
sarà mai del razionalismo metafisico se persino la matematica non
riesce a dimostrare la propria intrinseca coerenza ? Il naufragio dei
sistemi assiomatici , l’
indimostrabilità della verità aritmetica mette , allora , le ali
alle correnti del postmodernismo e del relativismo .Già di
per sé queste correnti di pensiero vedevano
con scetticismo
l’oggettività della verità , della storia , delle norme
tramandate ed acquisite , Figurarsi
dopo Godel …Questo stile di
pensiero che rigetta le nozioni classiche di verità di oggettività di
dimostrabilità e che ha , in Italia , nel filosofo torinese del “
pensiero debole “ Gianni Vattimo la sua massima espressione .
“
Non esistono fatti ma interpretazioni dei fatti “ ; il motto di Nietzche
diventa il manifesto ideologico del “ pensiero debole”
nell’impossibilità di spiegare in un “ unicum” la “ verità “ ;
essa, “ non è ma si fa
“…E tutto questo mondo vide in Godel e nei suoi teoremi
quasi la soluzione finale , la definitiva consacrazione delle
proprie teorie : se neanche la matematica riesce a dimostrare la sua
coerenza , figurarsi come possano essere credibili o pretendere di
possedere la verità assoluta,
la Bibbia
, il Capitale o il Corano ? Ma è in Francia che maggiormente si scatena
“la versione politica “ dei teoremi godeliani . Ecco
Regis Debray : ” dal
giorno in cui Godel ha dimostrato che non esiste una dimostrazione di
coerenza dell’Aritmetica di Peano formalizzabile ….i politologi hanno
avuto i mezzi per capire perché occorresse mummificare Lenin . Ed ancora
…” il segreto dei disagi collettivi ha la forma di una legge logica ,
generalizzazione del teorema di Godel : non esiste un sistema organizzato
senza chiusura , e nessun sistema può chiudersi grazie ai soli elementi
interni al sistema “ .
Ora , è chiaro , che
il tentativo di esportare i teoremi di Incompletezza in campi quali la
politica o la religione appare una
forzatura , anzi forse un
abuso per non dire una stravaganza . Questo per il semplice fatto che
Godel applicava i suoi teoremi a sistemi formali assiomatici e solo a
questi . Forse che i sistemi politici , i sistemi religiosi , Il Capitale
o il Corano sono sistemi assiomatici ? Ma , lasciamo ai lettori la
risposta …
GODEL E
L’ I. A.
Un altro punto su cui
Godel viene chiamato in causa è questo : La filosofia o meglio la
metafisica si pongono l’obiettivo di spiegare il Tutto , la totalità ;
l’aspirazione “ all’intero “ è propria della filosofia , sin
dalle sue origini la tendenza dei filosofi è stata quella di interrogarsi
sull’origine delle cose , del mondo , dell’ etica , sull’ontologia
sulla gnoseologia ..insomma
la Filosofia
come Teoria della Totalità .Ecco , secondo alcuni, Godel
mette in crisi questa
concezione metafisica della filosofia . Anche qui si applica un teorema
riguardante un sistema assiomatico ad ambiti diversi da quelli per cui è
stato concepito . E contiguo a questo tema ve ne è un altro ; anche
la Fisica
, in alcune sue recenti teorie , si è posto il problema del Tutto ovvero
: esiste una ipotetica teoria Fisica all’interno della quale si possono
spiegare tutte le leggi della natura ? Alcuni fisici teorici da anni ormai
sono alla ricerca di una teoria generale da cui si possono dedurre tutte
le verità fisiche . Ecco , qui i discorsi sono più pertinenti . Infatti
, supponendo l’esistenza di una Teoria del Tutto in Fisica , di una
Teoria Universale che valga erga
omnes ed erga omnia questa , certamente , dovrebbe trovare una sua
giustificazione nella
matematica e quindi nell’aritmetica . Una sua teoria implicherebbe senza
dubbio assiomi matematici ed aritmetici ma questi , parafrasando Godel
sono , non decidibili ,
incoerenti .
Aggiungiamo , anche
che Godel viene chiamato in causa su temi riguardanti l’Intelligenza
Artificiale . Il nesso lo si individua nel fatto che i sistemi formali a
cui si applica il teorema di Godel utilizzano funzioni “ ricorsive “ ;
anzi Godel proprio per dimostrare in modo tecnico , sintattico i suoi
teoremi fa proprio uso delle funzioni ricorsive ; queste , sono
procedure ripetitive , ovvero
, procedure che si ripetono
fin che non soddisfano una certa condizione . Ora queste stesse funzioni
sono utilizzate da una qualunque macchina di Turing . Ed i PC.che usiamo
quotidianamente utilizzano algoritmi ove le operazioni si possono ripetere
fin che si vuole . La procedura utilizzata , quindi , fa uso di tecniche
ripetitive che seguono una logica ben precisa . Allora , ci si chiede ,
la mente usa per fare
calcoli ed operazioni un suo sistema logico tramite il quale comanda e/o
realizza il software utilizzato nei PC . Allora , ci si chiede sarà
possibile per un PC emulare la mente umana ? Sarà sempre
possibile progettare un software , per quanto faticoso possa essere
, in grado di simulare o rappresentare la mente umana ? In linea di
principio possiamo dire di sì . L’algoritmo della macchina è lo stesso
della mente che lo progetta . la
differenza si evidenzia nella velocità di esecuzione dei calcoli e nella
quantità di informazione possedute …Alcuni filosofi e matematici si
sono posti il problema su chi fosse superiore la macchina o la mente o
meglio se fosse possibile ridurre la mente umana ad un Computer
Ecco a proposito cosa dice J.R.Lucas
“ Per quanto sia
complicata la macchina che costruiamo , se è una macchina corrisponderà
a un sistema formale , che a sua volta sarà suscettibile alla procedura
di Godel per scoprire una formula non dimostrabile in quel sistema .
Questa formula , la macchina non sarà capace di produrla in quanto vera ,
mentre la mente umana può vedere che è vera . Quindi la macchina non sarà
ancora un modello adeguato della mente . Stiamo cercando di produrre un
modello della mente che è meccanico – cioè essenzialmente morto – ma
la mente essendo realtà viva può sempre spuntala su qualunque sistema
formale , ossificato e morto . Grazie al Teorema di Godel la mente ha
sempre l’ultima parola “ ……Anche la mente umana utilizza procedure
ripetitive o algoritmi del tutto analoghi ; anzi è la mente che guida
ogni macchina . Vi è quindi una equivalenza fra sistemi formali e
Computer ; ed in questo dibattito si sono inseriti ….Ma
questo non è possibile grazie ai teoremi di Godel . Godel ci dice , in
sostanza , che un sistema formale Kg non riesce , se coerente ovvero se
vero , a dimostrare la sua veridicità all’interno del sistema stesso .
Proprio in quanto vero non è dimostrabile ;E se fosse dimostrabile
sarebbe falso . questo viene deciso da argomentazioni “ metamatematiche
“ ovvero da argomentazioni metateoriche , argomentazioni che discutono
sul sistema , del sistema ma non sono il sistema . Questo , significa ,
per i filosofi “ uscire dal sistema “ . Ora la mente umana riesce a
sviluppare questa procedura di uscita dal sistema per discutere e vedere
il sistema , mentre qualunque macchina , qualunque programma , qualunque
algoritmo rimanendo chiuso all’interno del sistema formale progettato
non riuscirà mai a vedere dal di fuori se stesso . Da qui la superiorità
della mente umana rispetto a qualunque I.A.
I teoremi di
incompletezza ci dicono che L’Aritmetica non riesce a dimostrare la sua
coerenza all’interno di un sistema assiomatico chiuso , che parla di sé
e che è possibile sempre trovare almeno un enunciato che è indecidibile
ovvero su cui non si può dire né che è vero né che è falso . Si
direbbe “ sic stantibus rebus …” non possiamo trovare più nella
La Matematica
quelle certezze
GODEL E I
NEOPLATONICI
Ma allora , E’
proprio vero che Godel con la dimostrazione dei suoi teoremi determina il
“ de profundis “ dell’Aritmetica e con essa dell’Intera Matematica
? E’ proprio vero che
la Matematica
è incompleta e non riesce a dare coerenza ai si suoi assiomi ? E Se
la Matematica
“ muore di se stessa “ , osserverà
Wittgenstein , uno dei più
grandi filosofi del secolo scorso , di chi mai più potremo fidarci ?
E’
un mondo che crolla . Ma qui bisogna intendersi e porsi una la
domanda fondamentale : che cosa sono i numeri ? I numeri sono dei simboli
che servono per interpretare la realtà che ci circonda ? i numeri
esistono perché servono a contare , a spiegare
la realtà? . Oppure , sono delle entità oggettive , astratte ,
reali che sussistono in sé e per sé indipendentemente da noi ? Sono essi
, entità immateriali che
esistono anche se noi non esistessimo ? Ecco
secondo Godel i numeri sono entità che
esistono , pertanto reali anche se nessuno mai ha incontrato per strada un
numero , e sono intelligibili .
Noi
abbiamo l’idea del numero come l’idea della bellezza . I numeri , come
le idee di Platone !! Il matematico , pertanto , non inventa nulla , non
crea nulla , ma si limita a
scoprire ciò che in realtà esiste , ciò che esiste ed è collocato
nell’” Iperuranio “ delle Idee . Ritorna Platone , con Godel
e con lui il neoplatonismo . Il Matematico è “ l’esploratore
di un territorio intelligibile” (Hardy) . Prendiamo qualche esempio : il
teorema di Fermat ; Per circa 3 secoli i matematici di tutto il mondo
hanno perso le notti nel tentativo di dimostrare che non
esiste nessun intero n , positivo , con n > 2 tale che
valga
Xn + Yn
= Zn .
Nessuno
mai è , riuscito a trovare
tre interi tali che soddisfano la condizione di sopra . Finalmente , dopo
7 anni di lavoro , di recente , nel 1997 , battendo i pugni sul tavolo
all’ora di pranzo di fronte
alla moglie esterrefatta ,
James Wiles , ebbe un lampo di genio … e
con una dimostrazione lunga quanto un intero libro riusciva a dare
una soluzione al quesito. Ma ,
l ‘ impossibilità di soddisfare l’equazione di Fermat ,
rimaneva ; indipendentemente
dal fatto che Wiles riuscisse o meno a darne dimostrazione . Essa era lì
, e tale rimaneva si
dimostrasse o no , la sua
fondatezza o la sua infondatezza .
Ancora , il fatto che
la cinquantesima cifra dopo la
virgola del numero irrazionale
√2 sia 4 è stato scoperto recentemente con l’utilizzo dei PC ; ma
questa cifra ,
indipendentemente del fatto che qualche matematico l’ abbia scoperta era
tale e tale sarebbe rimasta nei secoli .
Le verità matematiche
, pertanto , sussistono indipendentemente dalle nostre capacità
dimostrative .Esse vivono nell’Iperuranio Platonico
delle Idee , ed il fatto che noi non riusciamo a dimostrarne la
veridicità non significa nulla perché
la verità non coincide
con la dimostrabilità ! E su questa via , Roger
Penrose nel suo libro “ La mente nuova dell’Imperatore “ abbraccia i
teoremi di Incompletezza condividendone tutto il tessuto neoplatonico :
“ i numeri sono entità astratte , oggettivamente esistenti , nel loro
intelligibile reame platonico “ . E’ abbraccia l’idea “ che la
mente umana possa vedere certe verità matematiche , con una sorta di
intuizione intellettuale , mentre non esistono procedure algoritmiche per
produrre queste verità ovvero per catturarle nei sistemi formali “ . A
suo dire “ l’argomento di Godel ci permette di andare , attraverso
l’uso dell’intuito , oltre i limiti di qualsiasi particolare sistema
matematico formalizzato “ .
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Prof. Bernardino Pujia
Liceo S. I. Newton Roma
