IL RE

VITO

KURT 

    GODEL  

SERRAO G.A.

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GODEL ED IL MONDO DOPO DI LUI ( BOZZA)

 

Quando Il giovane , proveniente da Praga , di appena 23 anni, al convegno di Koenisberg del 7 ottobre 1930   , prese la parola nessuno si aspettava di sentire novità interessanti . Erano fra l’altro presenti eminenti matematici e logici da  Rudolf Carnap  a Weismann   del Circolo di Vienna a Von Neumann seguace di Hilbert e a tanti altri . Il discorso di Godel apparve “ strano “ ed al contempo “ innovativo “ ; ma la giovane età , il suo carattere chiuso , un certo ermetismo nelle sue determinazioni  non  portarono a capire bene  la portata delle sue conclusioni . Solo Von Neumann prese il ragazzo sotto braccio e gli chiese cosa volesse dire e dove volesse arrivare con quegli enunciati ( il primo teorema di Incompletezza  ) . Ma non passò molto che la “ bomba “ Godel scoppiò con tutto il fragore del caso . Il suo discorso e le conclusioni dei suoi teoremi ebbero influssi che varcarono i confini della sola Aritmetica .

Scienziati , filosofi , politici cercarono di trovare nelle parole e nei teoremi di Godel giustificazioni alle più improbabili  teorie . Cosa sarà mai la verità se persino i matematici riconoscono l’incompletezza  dei loro sistemi assiomatici ?  Cosa  sarà mai del razionalismo metafisico se persino la matematica non riesce a dimostrare la propria intrinseca coerenza ? Il naufragio dei sistemi assiomatici  , l’ indimostrabilità della verità aritmetica mette , allora , le ali   alle correnti del postmodernismo e del relativismo .Già di per sé queste correnti di pensiero  vedevano  con scetticismo  l’oggettività della verità , della storia , delle norme tramandate ed acquisite ,  Figurarsi dopo Godel …Questo  stile di pensiero che rigetta le nozioni classiche di verità di oggettività di dimostrabilità e che ha , in Italia , nel filosofo torinese del “ pensiero debole “ Gianni Vattimo la sua massima espressione .

 “ Non esistono fatti ma interpretazioni dei fatti “ ; il motto di Nietzche diventa il manifesto ideologico del “ pensiero debole” nell’impossibilità di spiegare in un “ unicum” la “ verità “ ; essa,  “ non è ma si fa “…E tutto questo mondo vide in Godel e nei suoi teoremi  quasi la soluzione finale , la definitiva consacrazione delle proprie teorie : se neanche la matematica riesce a dimostrare la sua coerenza , figurarsi come possano essere credibili o pretendere di possedere la verità assoluta,   la Bibbia , il Capitale o il Corano ? Ma è in Francia che maggiormente si scatena “la versione politica “ dei teoremi godeliani . Ecco  Regis Debray  : ” dal giorno in cui Godel ha dimostrato che non esiste una dimostrazione di coerenza dell’Aritmetica di Peano formalizzabile ….i politologi hanno avuto i mezzi per capire perché occorresse mummificare Lenin . Ed ancora …” il segreto dei disagi collettivi ha la forma di una legge logica , generalizzazione del teorema di Godel : non esiste un sistema organizzato senza chiusura , e nessun sistema può chiudersi grazie ai soli elementi interni al sistema “ .

Ora , è chiaro , che il tentativo di esportare i teoremi di Incompletezza in campi quali la politica o la religione appare  una forzatura , anzi forse  un abuso per non dire una stravaganza . Questo per il semplice fatto che Godel applicava i suoi teoremi a sistemi formali assiomatici e solo a questi . Forse che i sistemi politici , i sistemi religiosi , Il Capitale o il Corano sono sistemi assiomatici ? Ma , lasciamo ai lettori la risposta …

 

GODEL E  L’ I. A.

 

Un altro punto su cui Godel viene chiamato in causa è questo : La filosofia o meglio la metafisica si pongono l’obiettivo di spiegare il Tutto , la totalità ; l’aspirazione “ all’intero “ è propria della filosofia , sin dalle sue origini la tendenza dei filosofi è stata quella di interrogarsi sull’origine delle cose , del mondo , dell’ etica , sull’ontologia sulla gnoseologia ..insomma la Filosofia come Teoria della Totalità .Ecco , secondo alcuni,  Godel  mette in crisi questa concezione metafisica della filosofia . Anche qui si applica un teorema riguardante un sistema assiomatico ad ambiti diversi da quelli per cui è stato concepito . E contiguo a questo tema ve ne è un altro ; anche la Fisica , in alcune sue recenti teorie , si è posto il problema del Tutto ovvero : esiste una ipotetica teoria Fisica all’interno della quale si possono spiegare tutte le leggi della natura ? Alcuni fisici teorici da anni ormai sono alla ricerca di una teoria generale da cui si possono dedurre tutte le verità fisiche . Ecco , qui i discorsi sono più pertinenti . Infatti , supponendo l’esistenza di una Teoria del Tutto in Fisica , di una Teoria Universale che valga   erga omnes ed erga omnia questa , certamente , dovrebbe trovare una sua giustificazione  nella matematica e quindi nell’aritmetica . Una sua teoria implicherebbe senza dubbio assiomi matematici ed aritmetici ma questi , parafrasando Godel  sono ,  non decidibili , incoerenti .

Aggiungiamo , anche che Godel viene chiamato in causa su temi riguardanti l’Intelligenza Artificiale . Il nesso lo si individua nel fatto che i sistemi formali a cui si applica il teorema di Godel utilizzano funzioni “ ricorsive “ ; anzi Godel proprio per dimostrare in modo tecnico , sintattico i suoi teoremi fa proprio uso delle funzioni ricorsive ; queste ,  sono procedure ripetitive  , ovvero ,  procedure che si ripetono fin che non soddisfano una certa condizione . Ora queste stesse funzioni sono utilizzate da una qualunque macchina di Turing . Ed i PC.che usiamo quotidianamente utilizzano algoritmi ove le operazioni si possono ripetere fin che si vuole . La procedura utilizzata , quindi , fa uso di tecniche ripetitive che seguono una logica ben precisa . Allora , ci si chiede ,  la mente usa  per fare calcoli ed operazioni un suo sistema logico tramite il quale comanda e/o realizza il software utilizzato nei PC . Allora , ci si chiede sarà possibile per un PC emulare la mente umana ? Sarà sempre  possibile progettare un software , per quanto faticoso possa essere , in grado di simulare o rappresentare la mente umana ? In linea di principio possiamo dire di sì . L’algoritmo della macchina è lo stesso della mente che lo progetta .  la differenza si evidenzia nella velocità di esecuzione dei calcoli e nella quantità di informazione possedute …Alcuni filosofi e matematici si sono posti il problema su chi fosse superiore la macchina o la mente o meglio se fosse possibile ridurre la mente umana ad un Computer  Ecco a proposito cosa dice J.R.Lucas

“ Per quanto sia complicata la macchina che costruiamo , se è una macchina corrisponderà a un sistema formale , che a sua volta sarà suscettibile alla procedura di Godel per scoprire una formula non dimostrabile in quel sistema . Questa formula , la macchina non sarà capace di produrla in quanto vera , mentre la mente umana può vedere che è vera . Quindi la macchina non sarà ancora un modello adeguato della mente . Stiamo cercando di produrre un modello della mente che è meccanico – cioè essenzialmente morto – ma la mente essendo realtà viva può sempre spuntala su qualunque sistema formale , ossificato e morto . Grazie al Teorema di Godel la mente ha sempre l’ultima parola “ ……Anche la mente umana utilizza procedure ripetitive o algoritmi del tutto analoghi ; anzi è la mente che guida ogni macchina . Vi è quindi una equivalenza fra sistemi formali e Computer ; ed in questo dibattito si sono inseriti  ….Ma questo non è possibile grazie ai teoremi di Godel . Godel ci dice , in sostanza , che un sistema formale Kg non riesce , se coerente ovvero se vero , a dimostrare la sua veridicità all’interno del sistema stesso . Proprio in quanto vero non è dimostrabile ;E se fosse dimostrabile sarebbe falso . questo viene deciso da argomentazioni “ metamatematiche “ ovvero da argomentazioni metateoriche , argomentazioni che discutono sul sistema , del sistema ma non sono il sistema . Questo , significa , per i filosofi “ uscire dal sistema “ . Ora la mente umana riesce a sviluppare questa procedura di uscita dal sistema per discutere e vedere il sistema , mentre qualunque macchina , qualunque programma , qualunque algoritmo rimanendo chiuso all’interno del sistema formale progettato non riuscirà mai a vedere dal di fuori se stesso . Da qui la superiorità della mente umana rispetto a qualunque I.A.

 

I teoremi di incompletezza ci dicono che L’Aritmetica non riesce a dimostrare la sua coerenza all’interno di un sistema assiomatico chiuso , che parla di sé e che è possibile sempre trovare almeno un enunciato che è indecidibile ovvero su cui non si può dire né che è vero né che è falso . Si direbbe “ sic stantibus rebus …” non possiamo trovare più nella La Matematica quelle certezze

 

GODEL E I  NEOPLATONICI

 

Ma allora , E’ proprio vero che Godel con la dimostrazione dei suoi teoremi determina il “ de profundis “ dell’Aritmetica e con essa dell’Intera Matematica ? E’ proprio vero che la Matematica è incompleta e non riesce a dare coerenza ai si suoi assiomi ? E Se la Matematica “ muore di se stessa “ ,  osserverà Wittgenstein , uno dei  più grandi filosofi del secolo scorso , di chi mai più potremo fidarci ?

 E’ un mondo che crolla . Ma qui bisogna intendersi e porsi una  la domanda fondamentale : che cosa sono i numeri ? I numeri sono dei simboli che servono per interpretare la realtà che ci circonda ? i numeri esistono perché servono a contare , a spiegare  la realtà? . Oppure , sono delle entità oggettive , astratte , reali che sussistono in sé e per sé indipendentemente da noi ? Sono essi ,  entità immateriali che esistono anche se noi non esistessimo ?  Ecco secondo Godel i numeri sono entità  che esistono , pertanto reali anche se nessuno mai ha incontrato per strada un numero , e sono intelligibili .

 Noi abbiamo l’idea del numero come l’idea della bellezza . I numeri , come le idee di Platone !! Il matematico , pertanto , non inventa nulla , non crea nulla ,  ma si limita a scoprire ciò che in realtà esiste , ciò che esiste ed è collocato nell’” Iperuranio “ delle Idee . Ritorna Platone , con Godel  e con lui il neoplatonismo . Il Matematico è “ l’esploratore di un territorio intelligibile” (Hardy) . Prendiamo qualche esempio : il teorema di Fermat ; Per circa 3 secoli i matematici di tutto il mondo hanno perso le notti nel tentativo di dimostrare che non esiste nessun intero n , positivo , con n > 2 tale che  

 

valga  Xn + Yn = Zn .

 

 Nessuno mai è ,  riuscito a trovare tre interi tali che soddisfano la condizione di sopra . Finalmente , dopo 7 anni di lavoro , di recente , nel 1997 , battendo i pugni sul tavolo all’ora di pranzo  di fronte alla moglie esterrefatta  , James Wiles , ebbe un lampo di genio … e  con una dimostrazione lunga quanto un intero libro riusciva a dare una soluzione al quesito.  Ma , l ‘ impossibilità di soddisfare l’equazione di Fermat ,  rimaneva ;  indipendentemente dal fatto che Wiles riuscisse o meno a darne dimostrazione . Essa era lì , e tale rimaneva  si dimostrasse o no ,  la sua fondatezza o la sua infondatezza .

Ancora , il fatto che la cinquantesima  cifra dopo la virgola  del numero irrazionale √2 sia 4 è stato scoperto recentemente con l’utilizzo dei PC ; ma questa  cifra , indipendentemente del fatto che qualche matematico l’ abbia scoperta era tale e tale sarebbe rimasta nei secoli .

Le verità matematiche , pertanto , sussistono indipendentemente dalle nostre capacità dimostrative .Esse vivono nell’Iperuranio Platonico  delle Idee , ed il fatto che noi non riusciamo a dimostrarne la veridicità non significa nulla perché   la verità non coincide con la dimostrabilità ! E su questa via ,  Roger Penrose nel suo libro “ La mente nuova dell’Imperatore “ abbraccia i teoremi di Incompletezza condividendone tutto il tessuto neoplatonico : “ i numeri sono entità astratte , oggettivamente esistenti , nel loro intelligibile reame platonico “ . E’ abbraccia l’idea “ che la mente umana possa vedere certe verità matematiche , con una sorta di intuizione intellettuale , mentre non esistono procedure algoritmiche per produrre queste verità ovvero per catturarle nei sistemi formali “ . A suo dire “ l’argomento di Godel ci permette di andare , attraverso l’uso dell’intuito , oltre i limiti di qualsiasi particolare sistema matematico formalizzato “ .          indietro

                                                                                      Prof. Bernardino Pujia

                                                                                      Liceo S. I. Newton Roma